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本 数学ガールの秘密ノート 整数で遊ぼう

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本-数学ガールの秘密ノート 整数で遊ぼう
著者: 結城浩 (著)
定価 ¥1,512(税込)
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商品情報

出版社名
SBクリエイティブ
発行年月
2013年 12月
ISBNコード
9784797374155
版型
127×188mm
ページ数
272P
平均評価
(5)
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ブクレポ
1件

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結城浩 OFF

この商品について

やさしさの中に新しい発見がある!「数学ガールの秘密ノート」シリーズ、第二弾。本書は、中学生・高校生向けのやさしい数学を題材にした「数学ガールの秘密ノート」シリーズの第二弾です。今回のテーマは「整数論」。

内容紹介

整数って、こんなに不思議だったの?「僕」と三人の少女が、整数の謎と魅力を軽やかに探る、待望の新シリーズ、第二弾。

※本データはこの商品が発売された時点の情報です。

目次

第1章 足しても引いても同じ数(僕の部屋/3の倍数か? ほか)/第2章 選べないのに見える数(図書室にて/素数と合成数 ほか)/第3章 数当てマジックと31の謎(僕の部屋/数当てマジック ほか)/第4章 数学的帰納法(図書室/テトラちゃん ほか)/第5章 ぐるぐるワンの作り方(僕の部屋/時計パズル ほか)

ブクレポ (レビュー)

ニックネーム: tenkiya 投稿日:2013/12/22

センター試験に間に合うか?

『数学ガールの秘密ノート』シリーズ第2弾。テーマは「整数で遊ぼう」です。
「整数を学ぼう」ではなく、「整数で遊ぼう」となっているところが、ミソと言えばミソです。

整数は、小学校の算数以来の長いおつきあいのはずですが、大学入試などで「整数問題」は多くの受験生が嫌う難問になっています。あまり込み入った知識は必要ないのですが、考え方がパターン化されていないので、受験生には嫌われてしまうのですね。

そのような風潮に対抗してか、昨年度からの高校の学習指導要領改訂では、おもに高1生が学習する数学Aの一分野に「整数の性質」が加えられました。「ユークリッドの互除法」や「合同式」など、これまで学校数学では(公式には)教えてこられなかった内容が、高校数学で取り上げられています。

このような時代の流れの中で、本書のテーマはまさにタイムリーと言えるのですが、よりピンポイントな内容も含まれているのが、さらに特徴的です。それは、2013年度の大学入試センター試験(数学Ⅱ・B)の数列の問題が取り上げられていることです。
この数列の問題は、センター試験では初めて「数学的帰納法」を題材にしたものでした。

「数学的帰納法」と整数がどうして結びつくのか、あまりピンとこない方も多いと思いますが、まず、「数学的帰納法」は自然数nについて成り立つ命題を証明する方法であることに注意してください。
そして、その証明の仕方は、証明すべき命題をP(n)で表すと
(Ⅰ) P(1)が成り立つことを証明する
(Ⅱ) P(k) (k≧1)が成り立つことを仮定して、P(k+1)が成り立つことを証明する
というものです。

このたった2つのステップを証明しただけで、n=1,2,3,4,……と無限に続く自然数について成り立つ命題が証明できるという、まさに「無限をとらえる」強力な証明法と言えます。
この証明法が実は、自然数の構成と全く同じスタイルになっているということで、「数学的帰納法」は整数と深く結びついているわけです。

本書では、このセンター試験の問題を詳しく説明する中で、「数学的帰納法」のキモを押さえているのですが、それと同時に、センター試験の問題の取り組み方についても親切にレクチャーしています。
センター試験は、マークシート方式をとっており、数値や文字・記号を穴埋め式に答えていくものですが、実は穴埋め箇所以上に重要なのは、いわゆる“地の文”、つまりは問題文です。
この問題文には「~である。したがって、~となるので、…」などの文章が書かれています。この後に穴埋め箇所がある場合、これらの文章はそこに入る数値や文字・記号を求めるための誘導になっているのです。

受験生には、センター試験の問題に取り組むときに、つい穴埋め箇所に気を取られ、問題文を丁寧に読まない人も多く、そのため「どう考えていいか」悩むことになりがちですが、考え方のヒントは実は問題文に潜んでいるということを忘れてはなりません。
本書には、このようなことも具体的に示されており、あと一か月足らずに迫ったセンター試験に臨む前にぜひとも一読しておきたい内容と言えます。

そして、最後には「もっと考えたいあなたのために」という章があり、さらに研究すべき問題などが提起されています。前回の「式とグラフ」もそうでしたが、ここは特に数学好きの方は読んで考えてみるとおもしろいでしょう。

例えば「数学的帰納法」については、次のような問題が紹介されています。

定理:人は、みな同じ年齢である。
証明:「n名グループのメンバーは、みな同じ年齢である」という主張をY(n)と呼び、nに関する数学的帰納法で証明する。
〈ステップA〉
「1名グループのメンバーは、みな同じ年齢である」という主張は成り立つ。なぜなら、そのグループにはたった1人しかいないからである。したがって、Y(1)は成り立つ。
〈ステップB〉
Y(k)が成り立っていると仮定して、Y(k+1)が成り立つことを示そう。
k+1名グループのメンバーを横1列に並べて、左から1,2,3,4,…,k,k+1の番号を付ける。
Y(k)が成り立っているので、右端の番号k+1の1人を除いて番号が1,2,3,4,…,kのk名グループのメンバーは、みな同じ年齢である。同様に、左端の番号1の1人を除いて番号が2,3,4,…,k,k+1のk名グループのメンバーも、みな同じ年齢である。
これら2つのk名グループのうちの2,3,4,…,kの番号のメンバーは同じ年齢なので、k+1名グループのメンバーはみな同じ年齢であることがわかる。
したがって、Y(k+1)が成り立つ。
以上の〈ステップA〉,〈ステップB〉から数学的帰納法により、任意のnについて、Y(n)が成り立つ。

(証明終わり)

もちろん、これは常識的に考えても誤った定理です。したがって、上に示した「数学的帰納法」の証明には誤りがあります。
でも、どこが誤りかを指摘できるでしょうか。試しにセンター試験を控えた知り合いの高3生に聞いてみたところ、明確に誤りを指摘することはできませんでした。

このような例も研究課題には取り上げられています。
受験生にとどまらず、一般の方も楽しめる内容だと思います。興味ある方はぜひ!
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